الهندسة الرياضية

موضوع: الهندسة الرياضية 6/22/2013, 21:36

الهندسة الرياضية (باليونانية: γεωμετρία) هو فرع من فروع علم الرياضيات, وهو فرع مختص بدراسة خصائص وعلاقات الأشكال والعناصر الهندسية (مثل نقاط وخطوط ودوائر إلخ). خلال الحضارات المبكرة ظهرت الهندسة الرياضية بشكل مستقل وليس كفرع رسمي من الرياضيات كجزء من الحياة العملية التي تتعامل مع المساحات والأطوال والأحجام. في القرن الثالث وضع أقليدس الهندسة الرياضة بشكل بديهي وأسس على ذلكالهندسة الأقليدية. وإبتكر أرخميدس طرق ذكية لحساب المساحات والأحجام والتي ساهمت في معرفة التكامل. وفي علم الفلك, التخطيط لمواقع النجوم والكواكب على القبه السماوية كان مصدراً للعديد من المسائل الهندسية الرياضية.
مع تقدم علم الجبر وإختراع رينيه ديكارت للإحداثيات, ساعد على تطوير الهندسة الرياضية بصورة كبيرة حيث أدت إلى القدرة على تحليل والتعبير الأشكال الهندسية عن طريق معادلات ودالات رياضية, مما أدى إلى ظهورالهندسة التحليلية في القرن السابع عشر. ولاحقاً تم التوصل إلى ان الهندسة الرياضية هي أكثر من مجرد علاقات خطية (كالطول والعرض) بل أعقد, وساعد كلاً من كارل غاوس وليونهارت أويلر في تكوين الطوبولوجياوالهندسة التفاضلية.

التاريخ القديم[عدل]
أقدم بدايات مدونة للهندسة الرياضية نسبت لحضارة مصر القديمة والحضارات القديمة في بلاد الرافدين 200 سنة قبل الميلاد. وكانت هذه المدونات الهندسية عبارة عن مبادئ أساسية تتمثل في حساب الأطوال والزوايا والمساحات والأحجام والتي كانت ضرورية للتطبيق العملي في البناء وعلم الفلك. وأقدم المدونات الهندسية الرياضية هم بردية ريند الرياضية المصرية^[1] والمقدر عمرها (2000-1800 قبل الميلاد) وبردية موسكو الرياضية (1890 قبل الميلاد).^[2]
في القرن السابع قبل الميلاد عالم الرياضيات طاليس استخدم الهندسة الرياضية لحل مسائل هندسية متعدده ومنها معرفة ارتفاع الأهرامات والمسافات من السفن إلى الشواطئ^[3]. وينسب إلى طاليس أنه أول من استخدم التفكير البرهاني في الهندسة الرياضية حيث انه وضع نظرية طاليس^[4] عبر التحليل البرهاني. وفيثاغورث وضع نظرية فيثاغورث والتي تطبق على المثلث القائم. حول 300 سنة قبل الميلاد قد أحدث أقليدس ثورة في الهندسة الرياضية, حيث ان أصول أقليدس تعتبر من أهم الكتب الذي ساهم في تطوير الهندسة الرياضية ومحتويات هذا الكتاب تدرس في المدراس حتى إلى وقتنا الحالي.
العصور الوسطى[عدل]
علوم الرياضات عند المسلمين ساهمت في تطوير الهندسة الرياضية خاصة مجال الهندسة الجبرية. المهاني الذي حل بعض مسائل أرخميدس المتعلقة بتقسيم الدائرة.^[5] عمر الخيام توصل إلى حلول هندسية إلى الدالات تكعيبية وينسب إليه أيضا رباعي أضلاع ساتشيري والمسمى أيضا رباعي أضلاع خيام-ساتشيري. وينسب إلى إبن الهيثم رباعي أضلاع هيثم-لامبرت.
وهذه الأعمال المختصة برباعي الأضلاع ساهمت في التمهيد إلى الهندسة الزائدية.كانت هذه الدراسات عوامل مؤثرة في تطوير الهندسة اللاأقليدية فيما بعد عبر المهندسون الأوروبيون مثل ويتلو وجرسونيدس وجون واليس وجيوفاني جيرولامو ساتشيري. وكما ان أبو الريحان البيروني قام بوضع طريقة لقياس محيط ونصف قطر الأرض.

كارل فريدريك غاوس

الهندسة المعاصرة[عدل]
في القرن السابع عشر، حدث تطوران هامان في الهندسة الرياضية، أولها كان إختراعالهندسة التحليلية بواسطة رينيه ديكارت (1596-1650) وبيير دي فيرما (1601-1665) مما كانت سبباً ضرورياً في تطوير التفاضل والتكامل وعلوم فيزيائية كمية دقيقة. والتطور الثاني هو الهندسة الإسقاطية بواسطة جيرار ديسارغو (1591-1661). الهندسة الإسقاطية هي هندسة رياضية بدون قياسات أو خطوط متوازية، هي فقط تهتم بدراسة بعلاقة النقاط الهندسية ببعضها البعض.
في القرن التاسع عشر، تطوران للهندسة الرياضية قاما بتغيير طريقة مجراها. الأول كان الهندسة اللاأقليدية بواسطة نيكولاي لوباتشيفسكي (1792-1856) وجانوس بولياي (1802-1860) وكارل غاوس (1777-1855). والتطور الثاني كان مبدأ التناظربواسطة فيليكس كلاين والتي كانت ذات أهمية كبيرة في برنامج ارلنغن. خلال تلك الفترة برنارد ريمان قام بتأسيس سطح ريمان وهنري بوانكاريه قام بتأسيسالطوبولوجيا الجبرية والنظرية الهندسبة في النظام التحريكي. ونتيجةً لهذه التطورات الجذرية في الهندسة الرياضية، أصبح مفهوم الفضاء "الفراغ" متنوعاً وغنياً.

موضوع: رد: الهندسة الرياضية 6/22/2013, 21:46

الهندسة الأقليدية[عدل]
هندسة المستوى[عدل]

مبرهنة فيثاغورث تطبق ضمن الفضاء الأقليدي

وهذا القسم يهتم بالأشكال ثنائية الأبعاد والتي يمكن رسمها في مستوى ويمكن تخيل المستوى كورقة فارغة لامنتهية. وفي الفضاء الأقليدي يوجد عدة مبادئ في الهندسة الرياضية في المستوى منها التطابق والتشابهوالإنزلاق والإنعكاس والدوران للأشكال الهندسية. ويوجد العديد من النظريات التي تطبق في المستوى ومنهانظرية فيثاغورث.
أحد الأشكال البسطية الأساسية
1. نقطة: لا أبعاد لها، فقط يمكن وصفها بالإحداثيات.
2. خط: شكل أُحادي البعد.
3. متسوى: ثنائي البعد.
4. المضلع: وهو شكل ثنائي البعد، يتكون من خطوط مستقيمة. (مثال: المثلث والمربع)
5. الدائرة: وتعرف بأنها المحل الهندسي للنقاط المتصلة ببعضها البعض والواقعة في المستوى من على بعد ثابت من نقطة ثابتة ما, والتي تسمى مركز الدائرة. المسافة الفاصلة بين مركز الدائرة وأي نقطة منها تسمى نصف قطر.

زاويتان متكاملتان

6. الزوايا: وهي شكل هندسي ناتج عن إلتقاء شعاعين بنقطة بدايتها تسمى رأس الزاوية وقد نقسمها مبدأيا إلى:

زاوية حادة

زاوية قائمة

زاوية منفرجة

هندسة فراغية[عدل]

صُلب أرخميدي، ويعتبر أحد الأشكال كثيرة الوجوه

كما تعرف بهندسة الفضاء في بعض المدارس العربية، لا علاقة لها بالهندسة الفضائية. وهذا القسم يختص بتطبيق الهندسة الأقليدية على الأشكال ثلاثية الأبعاد. وأبسط الأشكال ثلاثية الأبعاد المكعب هم المكعب ومتوازي الأضلاع. ومن خصائص هذه الأشكال الثلاثية هي الطول والعرض والإرتفاع. ويوجد خاصتان إضافيتان مهمتان ومخصصة فقط للأشكال ثلاثية الأبعاد وهما، الحجم ومساحة السطح.
وهناك نوعان رئيسيان من الأشكال ثلاثية الأبعاد:
كثيرات الوجوه[عدل]
وهو شكل ثلاثي الأبعاد عديد الأسطح وأسطحه مستوية ومستقيم الزوابا (الحواف) أي انه لايوجد فيه إنحناء. والأشكال عديدة الوجوه عديدة جداً فتم تقسيمها إلى ثلاثة مجموعات; صلب أفلاطوني ومنشور والهرم.الأمثلة التالية هي فقط أحد أنواع كثيرات الوجوه.

صلب أفلاطوني وهو كثير وجوه محدب، وأسطحه متطابقة ومنتظمة الأضلاع وعند كل نقطة هندسيةمنه يلتقي نفس العدد من الأوجه. وهناك خمس أنواع منه، رباعي السطوح والمكعب وثماني السطوحومتعدد سطوح اثنا عشري وعشروني الوجوه.

رباعي السطوح (أربعة أوجه)	مكعب (ستة أوجه)	ثماني السطوح (ثمانية أوجه)	متعدد سطوح اثنا عشري (إثناعشر وجهً)	عشروني الوجوه (عشرون وجه)
(صورة متحركة)	(صورة متحركة)	(صورة متحركة)	(صورة متحركة)	(صورة متحركة)

منشور وهو أي كثير وجوه في الفراغ فيه وجهان مضلعان متطابقان في مستويين متوازيين بشرط أن تكون جميع الأوجه الأخرى متوازية الأضلاع. تصنف المناشير بحسب شكل القاعدة، فمثلا منشور مثلث أو رباعي أو خماسي وهكذا.

الإسطوانة، شكل لاكثير الوجوه

الهرم هو شكل هندسي كثير السطوح واحد أوجهه مضلع يسمى قاعدة الهرم، والهرم ناتج عن ربط زوايا قاعدة رباعية الأضلاع أو ثلاثية الأضلاع بنقطة واحدة تسمى القمة. ويوجد منه أنواع، هرم ثلاثي وهرم رباعي وهرم خماسي.

لاكثيرات الوجوه[عدل]
وهي أشكال ثلاثية الأبعاد يحتوي على أسطح منحنية أو قد يكون كمزيج بين أسطح مستوية ومنحنية. ومنها الكرة والإسطوانةوالمخروط والطارة.
الهندسة التفاضلية[عدل]
الهندسة التفاضلية وهو العلم الذي يستخدم التفاضل والتكامل والجبر لدراسة المسائل الهندسية. أصبح لها أهمية كبرى في مجال الفزياء الرياضية وذلك نتيجةً إلى نظرية اينشتاين النسبية والتي تقترح ان الفضاء الكوني بشكل عام منحني. والهندسة التفاضلية الحديثة تتعامل مع فراغات تعتبر متعددة تشعب سلسة ويحكم أساساتها الهندسية الرياضية مقياس ريماني (نسبتا إلى برنارد ريمان).
الطوبولوجيا[عدل]

مثال على الطوبولوجيا

الطبولوجيا تختص بدراسة المجموعات المتغيرة التي لا تتغير طبيعة محتوياتها. وقد شهدت الطبولوجيا تحديثات وتغيرات هائلة ضمن القرن العشرون. ومن أهم أفرعها الطوبولوجيا التفاضلية والطوبولوجيا الهندسية الرياضية.
الهندسة الجبرية[عدل]
الهندسة الجبرية القديمة تهتم بدراسة مجموعات صفرية متعددة الحدود. لكن الهندسة الجبرية الحديثة تعتمد على الطريق التجريدية من الجبر التجريدي. خلال الخمسينيات إلى السبعينيات تم تطوير هذه الهندسة بشكل كبير بواسطةألكسندر غروتينديك وجان-بيير سير، مما أدلا إلى إدخال مخططات وطرق طوبولوجي. حدسية هودج تعتبر واحده من مسائل القرن الواحد والعشرين التي تتطلب الأكثر صعوبة حيث أنها تتطلب الحدسية لفهما، وهي تقع ضمن مجال الهندسة الجبرية.

موضوع: رد: الهندسة الرياضية 6/22/2013, 21:51

شكرا لك وجزاك الله خيرا شرح كلف عن تاريخ الهندسة الرياضية بمختلف أنواعها

» الهندسة الرياضية
» المباني الرياضية
» التمارين الرياضية اهميتها
» الادوية المحظورة اثناء الالعاب الرياضية - 5
» الادوية المحظورة اثناء الالعاب الرياضية - 21